Teorema do Limite Central
O Teorema do Limite Central ou TLC é um dos conceitos mais importantes da estatística moderna e utilizado para diversos problemas com amostragem.
Teorema do Limite Central: Dada uma variável X, i.i.d (independente e identicamente distribuida), com média µ e variância σ², a média amostral de X segue uma distribuição *normal* desde que a amostra seja suficientemente grande
Definão tirada do livro Estatística e introdução a econometria - Sartoris
Quanto maior o número de observações na amostra da média, maior será a convergência da distribuição para a normal
Simulação
### Importando bibliotecas
library(tibble)
library(dplyr)
library(tidyr)
library(ggplot2)
library(ggthemes)
Para a simulação foram utilizadas diferentes distribuições
| Distribuição |
|---|
| Exponencial |
| Uniforme |
| t-Student |
| f-Fisher |
### Criando dodos para análise
n <- 5000 # número da amostra
m <- 5000 # número da amostra que serão tiradas as medias
sim <- tibble(indice = 1:n, ### tibble para entrada dos dados
exponencial = double(length = n),
uniforme = double(length = n),
tStudent = double(length = n),
fFisher = double(length = n))
### Estruturando as médias
set.seed(1234)
for(i in 1:n) {
sim$exponencial[i] <- rexp(n = m) %>% mean()
sim$uniforme[i] <- runif(n = m) %>% mean()
sim$tStudent[i] <- rt(n = m, df = 2) %>% mean()
sim$fFisher[i] <- rf(n = m, df1 = 2, df2 = 4) %>% mean()
}
O próximo passo será normalizar a média de X, assim temos:
Portanto, o TLC terá média 0 e variância 1
Podemos então plotar um gráfico da distribuição de qualquer um das diferentes distribuições
### Plotando distribuição
janela %>%
ggplot(aes(x = fFisher))+ # distribuição Fisher
geom_histogram(aes(y = ..density..),bins = 70, fill = 'black', alpha = 0.8)+
geom_density(size = 1.5, alpha = 0.9, color = 'red')+
theme_hc()+
scale_colour_hc()
ecdf_fisher <- ecdf(janela$fFisher)
plot(ecdf_fisher)
Agora vamos fazer o teste de Kolmogorov-Smirnov para analisar se os dados seguem uma distribuição normal e também notar a dinâmica dos valores quando aumentamos a amostra .
for(i in 3:nrow(testes)) {
janela <- sim %>%
filter(indice <= i) %>%
transmute(uniforme = (uniforme - mean(uniforme)/sd(uniforme)),
tStudent = (tStudent - mean(tStudent))/sd(tStudent),
fFisher = (fFisher - mean(fFisher))/sd(fFisher))
### Rodando teste de Kolmogorov-Smirnov
testes$Puni[i] <- ks.test(x = janela$uniforme, 'pnorm')$p.value
testes$PtStu[i] <- ks.test(x = janela$tStudent, 'pnorm')$p.value
testes$PfFis[i] <- ks.test(x = janela$fFisher, 'pnorm')$p.value
}
### Gráfico do p_value
testes %>%
pivot_longer(Puni:PfFis,
names_to = "distro",
values_to = "p") %>%
ggplot(aes(x = indice, color = distro, y = p))+
geom_line(size=1.2, alpha = 0.8)+
theme_hc()+
scale_colour_hc()+
scale_y_continuous(label = scales::percent)
Referências:
SARTORIS, Alexandre. Estatística e introdução a econometria. 2.Ed. Saraiva, 2013. p.144-148 CAVALCANTE, Pedro. Simulando o Teorema Central do Limite no R. AZUL. 2019. Disponível em: (https://azul.netlify.app/2019/11/03/central-limit-theorem-r/)